- frac{1}{2} = k(x - 1)y−21=k(x−1)，代入椭圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。
(1+2k2)x2−(4k2−2k)x+(2k2−2k−32)=0(1+2k^2)x^2 - (4k^2 - 2k)x + (2k^2 - 2k - frac{3}{2}) = 0(1+2k2)x2−(4k2−2k)x+(2k2−2k−23)=0
利用韦达定理 xA+xB=4k2−2k1+2k2x_A + x_B = frac{4k^2 - 2k}{1+2k^2}xA+xB=1+2k24k2−2k。
因为P是AB中点，所以 xP=xA+xB2=1x_P = frac{x_A+x_B}{2} = 1xP=2xA+xB=1。
4k2−2k2(1+2k2)=1frac{4k^2 - 2k}{2(1+2k^2)} = 12(1+2k2)4k2−2k=1
解这个关于k的方程，得到 k=−1k = -1k=−1。
“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。
这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！
真正的挑战，是第三问。
“第三问，在第二问的条件下，过点P作直线m垂直于l，交椭圆C于M, N两点。试问是否存在一个常数λ，使得 |PM|·|PN| = λ |PA|·|PB| 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”
这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。
秦风的眉头微微蹙起。
他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。它需要更深层次的理解和更灵活的运用。
“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。
直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。
直线m的方程为 y−12=1(x−1)y - frac{1}{2} = 1(x - 1)y−21=1(x−1)，即 y=x−12y = x - frac{1}{2}y=x−21。
将直线m的方程代入椭圆方程 x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：
x22+(x−12)2=1frac{x^2}{2} + (x - frac{1}{2})^2 = 12x2+(x−21)2=1
x22+x2−x+14=1frac{x^2}{2} + x^2 - x + frac{1}{4} = 12x2+x2−x+41=1
32x2−x−34=0frac{3}{2}x^2 - x - frac{3}{4} = 023x2−x−43=0
6x2−4x−3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2−4x−3=0
设M(x₁, y₁)，N(x₂, y₂)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = frac{4}{6} = frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=−36=−12x_1 x_2 = -frac{3}{6} = -frac{1}{2}x1x2=−63=−21。
∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2|PM| cdot |PN| = sqrt{(x_1-x_P)^2 + (y_1-y_P)^2} cdot sqrt{(x_2-x_P)^2 + (y_2-y_P)^2}∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2
由于点M, N在直线 y=x−12y = x - frac{1}{2}y=x−21 上，且P(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。
实际上，P是弦MN上的一个定点。
∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)|PM| cdot |PN| = |(x_1-x_P)(x_2-x_P)| cdot (1+k_m^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。
∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)|PM| cdot |PN| = |x_1x_2 - x_P(x_1+x_2) + x_P^2| cdot (1+1^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)
∣PM∣⋅∣PN∣=∣−12−1(23)+12∣⋅2=∣−12−23+1∣⋅2=∣−3+4−66∣⋅2=∣−16∣⋅2=13|PM| cdot |PN| = |-frac{1}{2} - 1(frac{2}{3}) + 1^2| cdot 2 = |-frac{1}{2} - frac{2}{3} + 1| cdot 2 = |-frac{3+4-6}{6}| cdot 2 = |-frac{1}{6}| cdot 2 = frac{1}{3}∣PM∣⋅∣PN∣=∣−21−1(32)+12∣⋅2=∣−21−32+1∣⋅2=∣−63+4−6∣⋅2=∣−61∣⋅2=31。
这个计算过程，秦风写得极为流畅。
接下来是计算 |PA|·|PB|。
直线l的方程为 y−12=−1(x−1)y - frac{1}{2} = -1(x - 1)y−21=−1(x−1)，即 y=−x+32y = -x + frac{3}{2}y=−x+23。
代入椭圆方程 x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：
x22+(−x+32)2=1frac{x^2}{2} + (-x + frac{3}{2})^2 = 12x2+(−x+23)2=1
x22+x2−3x+94=1frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + frac{9}{4} = 12x2+x2−3x+49=1
32x2−3x+54=0frac{3}{2}x^2 - 3x + frac{5}{4} = 023x2−3x+45=0
6x2−12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2−12x+5=0
设A(x₃, y₃)，B(x₄, y₄)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = fr
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